Ley de los signos matemáticos: qué es, reglas, ejemplos y ejercicios resueltos

La ley de los signos es una de las reglas fundamentales de las matemáticas. Permite realizar correctamente operaciones con números positivos y negativos, como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, fracciones y operaciones combinadas. Comprenderla es esencial para avanzar en aritmética y álgebra, ya que se utiliza en ecuaciones, potencias y muchos otros contenidos matemáticos.

Aunque algunas de sus reglas parecen difíciles al principio, aprenderlas resulta más sencillo cuando se comprende qué ocurre en cada operación y se practican ejemplos paso a paso y juegos educativos. No se trata únicamente de memorizar que «menos por menos es más», sino de saber cuándo se aplica esa regla y por qué no funciona de la misma manera en una suma o una resta.

En esta guía encontrarás una explicación completa de la ley de los signos, tablas de referencia, ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. También puede utilizarse como material de apoyo para la didáctica de las matemáticas de docentes que quieran explicar este contenido en clase.

¿Qué es la ley de los signos?

La ley de los signos es el conjunto de reglas que permite determinar el signo del resultado al realizar operaciones matemáticas con números positivos y negativos.

Un número positivo representa una cantidad mayor que cero y se escribe con el signo +, aunque normalmente este se omite. Por ejemplo, +5 suele escribirse simplemente como 5.

Un número negativo representa una cantidad menor que cero y se identifica con el signo −. Algunos ejemplos son −2, −7 y −15.

La regla que debemos aplicar depende de la operación que estemos realizando. En las sumas y restas, el resultado depende de las cantidades y de los signos de los números. En las multiplicaciones y divisiones, podemos determinar el signo del resultado atendiendo a si los signos de los números coinciden o son diferentes.

• 5 + 3 = 8: sumamos dos números positivos.
• (−5) + (−3) = −8: sumamos dos números negativos.
• (−5) × (−3) = 15: multiplicamos dos números negativos y obtenemos un resultado positivo.
• (−15) ÷ 3 = −5: dividimos dos números con signos diferentes y obtenemos un resultado negativo.

Como puedes observar, los signos no se comportan igual en todas las operaciones. Por eso, antes de resolver un ejercicio, es importante identificar qué operación se está realizando.

¿Qué significan los números positivos y negativos?

Una forma sencilla de comprender los números positivos y negativos es relacionarlos con situaciones cotidianas.

Imagina un termómetro que marca diferentes temperaturas:

• +8 °C: ocho grados por encima de cero.
• 0 °C: la temperatura está en cero.
• −8 °C: ocho grados por debajo de cero.

Los números positivos también pueden representar ganancias, ingresos o avances, mientras que los negativos pueden representar pérdidas, deudas o retrocesos, dependiendo del contexto.

En una recta numérica, los números positivos se encuentran a la derecha del cero y los negativos, a su izquierda.

La recta numérica

← −4 — −3 — −2 — −1 — 0 — 1 — 2 — 3 →

Cuanto más a la derecha está un número, mayor es su valor. Por ejemplo, −2 es mayor que −4, aunque 4 sea mayor que 2.

Esta representación ayuda a entender las sumas y restas. Si avanzamos hacia la derecha, aumentamos el valor; si retrocedemos hacia la izquierda, lo disminuimos.

¿Para qué sirve la ley de los signos?

La ley de los signos permite operar correctamente con números de distintos signos y evita errores en cálculos que aparecen en numerosos temas matemáticos.

Se utiliza, entre otros casos, para:

• Sumar y restar números enteros.
• Multiplicar y dividir cantidades positivas y negativas.
• Resolver operaciones con fracciones.
• Simplificar expresiones algebraicas.
• Resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
• Trabajar con potencias y expresiones con paréntesis.

Por ejemplo, si una persona tiene una deuda de 12 euros y adquiere otra deuda de 5 euros, su saldo puede representarse como (−12) + (−5) = −17. En cambio, si tiene una deuda de 12 euros y paga 5, su deuda disminuye: (−12) + 5 = −7.

Estos ejemplos muestran que entender los signos también ayuda a interpretar situaciones reales.

¿En qué operaciones se aplica la ley de los signos?

La ley de los signos interviene en las cuatro operaciones aritméticas básicas, aunque las reglas concretas cambian según la operación.

Conviene recordar que el valor absoluto de un número es su distancia al cero, sin tener en cuenta el signo. Por ejemplo, el valor absoluto de −7 es 7, y el de +7 también es 7.

¿Cuáles son las reglas de la ley de los signos?

Para aprender la ley de los signos, es útil separar las reglas de la suma y la resta de las correspondientes a la multiplicación y la división.

Regla de los signos iguales y diferentes

En la multiplicación y la división, la regla es directa:

• Signos iguales: el resultado es positivo.
• Signos diferentes: el resultado es negativo.

Por ejemplo:

(+4) × (+3) = +12

(−4) × (−3) = +12

(+4) × (−3) = −12

(−4) × (+3) = −12

Esta regla también se aplica a la división cuando el divisor es distinto de cero.

En la suma, en cambio, no basta con observar si los signos son iguales o diferentes. Cuando los números tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se mantiene ese signo. Cuando son diferentes, se comparan sus valores absolutos y se resta el menor del mayor.

Tabla resumen de la ley de los signos

La siguiente tabla permite consultar rápidamente las reglas más importantes.

La idea clave es no utilizar la regla de la multiplicación para resolver automáticamente una suma o una resta. Cada operación tiene su propio procedimiento.

Ley de los signos en la suma y la resta

La ley de los signos en la suma y la resta es uno de los contenidos que más dudas genera, porque no se resuelve de la misma manera que la multiplicación o la división.

Para comprenderla, conviene distinguir dos situaciones: sumar números que tienen el mismo signo y sumar números que tienen signos diferentes. Después, veremos cómo se resuelven las restas transformándolas en sumas.

Ley de los signos para sumar números positivos y negativos

Cuando sumamos números enteros, debemos observar el signo de cada número y comparar sus valores absolutos si los signos son diferentes.

La regla general es la siguiente:

• Si los dos números tienen el mismo signo, sumamos sus valores absolutos y conservamos el signo.
• Si los dos números tienen signos diferentes, restamos sus valores absolutos y conservamos el signo del número que tiene mayor valor absoluto.
• Si los valores absolutos son iguales y los signos son diferentes, el resultado es cero.

Suma de números con el mismo signo

Cuando sumamos dos números positivos, sumamos sus cantidades y obtenemos un resultado positivo.

(+5) + (+3) = +8

El procedimiento es sencillo: 5 + 3 = 8. Como ambos números son positivos, el resultado también lo es.

Cuando sumamos dos números negativos, también sumamos sus valores absolutos, pero conservamos el signo negativo.

(−5) + (−3) = −8

Podemos imaginar que una deuda de 5 euros aumenta con otra deuda de 3 euros. La deuda total es de 8 euros, que representamos con el número −8.

Recuerda: cuando sumamos números con el mismo signo, sumamos las cantidades y mantenemos ese signo.

Suma de números con signos diferentes

Cuando los números tienen signos diferentes, debemos restar sus valores absolutos y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

(+9) + (−4) = +5

1. Identificamos los valores absolutos: 9 y 4.
2. Restamos el menor del mayor: 9 − 4 = 5.
3. Como el número con mayor valor absoluto es +9, el resultado es positivo.

Veamos otro ejemplo:

(−9) + (+4) = −5

En este caso, el número con mayor valor absoluto es −9. Por eso, el resultado es negativo.

También puede ocurrir que ambos números tengan el mismo valor absoluto:

(+6) + (−6) = 0

Los dos números se compensan y el resultado es cero.

Truco para recordar esta regla: cuando los signos son diferentes, resta las cantidades y quédate con el signo del número que está más lejos del cero.

Ley de los signos en la resta de números enteros

Para resolver una resta de números enteros, podemos utilizar una regla que simplifica el procedimiento: restar un número equivale a sumar su opuesto.

El opuesto de un número es aquel que tiene el mismo valor absoluto, pero el signo contrario. Por ejemplo, el opuesto de +5 es −5, y el opuesto de −5 es +5.

Esto significa que podemos transformar cualquier resta en una suma y aplicar las reglas que acabamos de estudiar.

(+8) − (+3) = 8 + (−3) = +5

Hemos cambiado la resta por una suma y cambiado el signo del segundo número.

(+8) − (−3) = 8 + (+3) = +11

En este caso, restamos un número negativo. Al convertir la operación en una suma, el segundo número pasa a ser positivo.

(−8) − (−3) = −8 + (+3) = −5

El resultado es −5, porque estamos sumando números con signos diferentes y el valor absoluto de −8 es mayor que el de +3.

Cómo convertir una resta en una suma

Para evitar errores, podemos seguir este procedimiento en todas las restas:

1. Conserva el primer número.
2. Cambia el signo de la resta por el de la suma.
3. Cambia el signo del segundo número por su opuesto.
4. Resuelve la suma aplicando la regla correspondiente.

Ejemplos resueltos de sumas y restas con signos

Practiquemos ahora con operaciones algo más variadas.

Estos ejemplos demuestran que es conveniente transformar las restas en sumas antes de realizar los cálculos. Así reducimos la posibilidad de confundir los signos.

Ley de los signos en la multiplicación

La ley de los signos en la multiplicación permite determinar si el producto de dos o más números es positivo o negativo.

A diferencia de la suma, en la multiplicación no necesitamos comparar los valores absolutos para averiguar el signo. Basta con observar si los factores tienen signos iguales o diferentes.

¿Cuál es la ley de los signos para la multiplicación?

La regla es la siguiente:

• Positivo por positivo: positivo.
• Negativo por negativo: positivo.
• Positivo por negativo: negativo.
• Negativo por positivo: negativo.

Podemos resumirlo en una tabla:

Una forma sencilla de memorizarla es: signos iguales dan positivo y signos diferentes dan negativo.

Esta regla determina el signo, pero no el valor numérico completo. Para obtener el resultado, también debemos multiplicar los valores absolutos de los factores.

Multiplicación de dos números positivos

Cuando multiplicamos dos números positivos, el resultado es positivo.

(+4) × (+3) = +12

Multiplicamos 4 × 3 = 12 y mantenemos el signo positivo. Otros ejemplos:

(+5) × (+6) = +30

(+8) × (+2) = +16

Es el caso habitual de la multiplicación que aprendemos desde los primeros cursos de matemáticas.

Multiplicación de un número positivo por uno negativo

Cuando multiplicamos un número positivo por uno negativo, el resultado es negativo.

(+4) × (−3) = −12

Primero calculamos el producto de los valores absolutos: 4 × 3 = 12. Como los signos son diferentes, el resultado es −12.

Lo mismo ocurre si invertimos el orden de los factores:

(−3) × (+4) = −12

El orden de los factores no cambia el resultado de la multiplicación.

Multiplicación de dos números negativos

Cuando multiplicamos dos números negativos, el resultado es positivo.

(−4) × (−3) = +12

Multiplicamos los valores absolutos, 4 × 3 = 12, y aplicamos la regla de los signos iguales: el resultado es positivo.

Este es uno de los casos que más dudas genera. Para comprenderlo, podemos observar una secuencia de multiplicaciones:

(−3) × 3 = −9

(−3) × 2 = −6

(−3) × 1 = −3

(−3) × 0 = 0

(−3) × (−1) = 3

(−3) × (−2) = 6

Al disminuir el segundo factor en una unidad, el resultado aumenta en 3. Para que se mantenga este patrón matemático, multiplicar dos números negativos debe producir un resultado positivo.

¿Por qué menos por menos es más?

La regla de que un número negativo multiplicado por otro negativo da un resultado positivo no es arbitraria: permite que las operaciones sean coherentes con las propiedades de los números enteros y la multiplicación.

Podemos demostrarlo utilizando la propiedad distributiva:

(−2) × [3 + (−3)] = (−2) × 0 = 0

Como 3 + (−3) = 0, el resultado debe ser cero. Aplicando la propiedad distributiva:

(−2) × 3 + (−2) × (−3) = 0

Sabemos que (−2) × 3 = −6. Por tanto:

−6 + (−2) × (−3) = 0

Para que esta igualdad se cumpla, el segundo producto debe ser +6:

(−2) × (−3) = +6

Así se demuestra que el producto de dos números negativos es positivo.

Ejemplos resueltos de multiplicaciones con signos

Ley de los signos en la división

La ley de los signos en la división funciona de la misma manera que en la multiplicación: signos iguales producen un resultado positivo y signos diferentes producen un resultado negativo.

La condición importante es que el divisor no sea cero, porque la división entre cero no está definida.

¿Cuál es la ley de los signos para la multiplicación y división?

En ambas operaciones se aplica la misma regla para determinar el signo del resultado.

Para resolver una división, calculamos el cociente de los valores absolutos y después asignamos el signo que corresponda.

División de dos números positivos

Cuando el dividendo y el divisor son positivos, el resultado es positivo.

(+20) ÷ (+4) = +5

Dividimos 20 ÷ 4 = 5 y conservamos el signo positivo.

División de números con signos diferentes

Si el dividendo y el divisor tienen signos diferentes, el resultado es negativo.

(−20) ÷ (+4) = −5

El cociente de los valores absolutos es 20 ÷ 4 = 5. Como los signos son diferentes, el resultado es −5.

También se cumple que:

(+20) ÷ (−4) = −5

División de dos números negativos

Cuando dividimos un número negativo entre otro negativo, obtenemos un resultado positivo.

(−20) ÷ (−4) = +5

Los signos son iguales y el cociente de los valores absolutos es 5.

¿Qué ocurre cuando se divide entre cero?

Es importante distinguir entre dividir cero entre un número y dividir un número entre cero.

• 0 ÷ 5 = 0: el resultado es cero porque cero dividido entre un número distinto de cero es cero.
• 5 ÷ 0: no está definido. No existe un número que, multiplicado por cero, dé 5.
• 0 ÷ 0: tampoco está definido como una división ordinaria, porque cualquier número multiplicado por cero da cero y no existe un cociente único.

Por tanto, la ley de los signos no permite resolver una división cuyo divisor es cero.

Ejemplos resueltos de divisiones con signos

Fracciones con ley de signos

La ley de los signos también se aplica a las fracciones. Para comprender cómo funciona, debemos recordar que una fracción representa una división entre dos números: el numerador es el número que aparece arriba y el denominador es el que aparece abajo.

Por ejemplo, en la fracción 3/5, el numerador es 3 y el denominador es 5.

Cuando una fracción contiene números negativos, debemos determinar su signo antes de realizar las operaciones. Después, aplicamos las reglas correspondientes a la suma, la resta, la multiplicación o la división de fracciones.

¿Cómo se aplica la ley de los signos en las fracciones?

El signo de una fracción depende de los signos del numerador y del denominador.

Por tanto, una fracción es positiva cuando el numerador y el denominador tienen el mismo signo, y negativa cuando tienen signos diferentes.

Además, una fracción puede escribirse de diferentes maneras sin cambiar su valor:

−3/5 = 3/(−5) = −(3/5)

Las tres expresiones representan el mismo número. Por convención, suele colocarse el signo negativo delante de la fracción o en el numerador, evitando dejarlo en el denominador.

Cómo identificar el signo de una fracción

Antes de operar con fracciones, conviene simplificar la expresión de su signo cuando sea posible.

(−4)/(−7) = 4/7

Como el numerador y el denominador son negativos, la fracción es positiva.

(−4)/7 = −4/7

En este caso, solo el numerador es negativo, así que la fracción es negativa.

−(−2/3) = +2/3

Aquí hay un signo negativo delante de una fracción que ya es negativa. Los dos signos negativos se compensan y obtenemos una fracción positiva.

Suma y resta de fracciones con signos positivos y negativos

Para sumar o restar fracciones, primero debemos observar si tienen el mismo denominador o denominadores diferentes. La ley de los signos determina cómo combinar los valores, pero el procedimiento para operar las fracciones también debe respetarse.

Fracciones con el mismo denominador

Si los denominadores son iguales, sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador.

2/7 + 3/7 = 5/7

Si las dos fracciones son negativas:

−2/7 − 3/7 = −5/7

Cuando tienen signos diferentes, podemos aplicar la regla de la suma de números con signos distintos:

−5/7 + 2/7 = (−5 + 2)/7 = −3/7

Restamos 5 − 2 = 3 y mantenemos el signo de la fracción con mayor valor absoluto, que en este caso es negativa.

Fracciones con denominadores diferentes

Si los denominadores son diferentes, debemos buscar un denominador común antes de sumar o restar.

−1/2 + 1/3

El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. Transformamos ambas fracciones:

−1/2 = −3/6     1/3 = 2/6

Ahora podemos sumarlas:

−3/6 + 2/6 = (−3 + 2)/6 = −1/6

El resultado es −1/6.

Ejemplo de resta de fracciones negativas

−2/3 − (−1/6)

Primero, transformamos la resta de una fracción negativa en una suma:

−2/3 + 1/6

Buscamos el denominador común, que es 6:

−4/6 + 1/6 = −3/6 = −1/2

El resultado simplificado es −1/2.

Multiplicación de fracciones con signos

Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Después, determinamos el signo del resultado utilizando la ley de los signos.

(a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d)

Siempre que b y d sean distintos de cero.

División de fracciones con signos

Para dividir fracciones, multiplicamos la primera por la inversa de la segunda. La fracción inversa se obtiene intercambiando el numerador y el denominador.

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)

Para que la operación esté definida, las dos fracciones deben estar definidas y la segunda fracción no puede ser cero.

Ejercicios resueltos de fracciones con ley de signos

Orden de las operaciones con números positivos y negativos

Como regla general, debemos seguir este orden:

1. Resolver las operaciones que aparecen dentro de los paréntesis y otros signos de agrupación, atendiendo también a la jerarquía de las operaciones dentro de ellos.
2. Calcular las potencias y raíces.
3. Realizar las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
4. Resolver las sumas y restas, de izquierda a derecha.

Si una expresión contiene paréntesis dentro de otros paréntesis, empezamos por los más internos.

Cómo resolver operaciones combinadas paso a paso

Veamos un ejemplo:

−3 + 2 × (−4)

Paso 1. Resolvemos la multiplicación:

2 × (−4) = −8

Paso 2. Sustituimos y sumamos:

−3 + (−8) = −11

Resultado: −11.

Observa que no hemos sumado primero −3 + 2, porque la multiplicación tiene prioridad.

Otro ejemplo:

(−6 + 2) × (−3) − 4

Primero resolvemos el paréntesis:

(−6 + 2) = −4

Después multiplicamos:

(−4) × (−3) = +12

Por último, restamos:

12 − 4 = 8

Resultado: 8.

Ejemplos resueltos con paréntesis, multiplicaciones y divisiones

Ley de los signos con potencias y números negativos

Las potencias también requieren atención cuando la base es negativa. El resultado depende del exponente y de si el signo negativo forma parte de la base.

Cuando una base negativa está entre paréntesis:

• Si el exponente es par, el resultado es positivo.
• Si el exponente es impar, el resultado es negativo.

Por ejemplo:

(−2)² = (−2) × (−2) = 4

(−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8

En cambio, si el signo negativo no está dentro de los paréntesis, la operación es diferente:

−2² = −(2²) = −4

Por eso, (−2)² = 4, pero −2² = −4. Los paréntesis indican si el signo negativo forma parte de la base que se eleva al cuadrado.

Errores frecuentes al aplicar la ley de los signos

Aprender las reglas es importante, pero también lo es reconocer los errores más habituales. Revisarlos permite comprender mejor los procedimientos y corregir las confusiones antes de que aparezcan en operaciones más complejas.

Confundir las reglas de la suma con las de la multiplicación

Uno de los errores más frecuentes es pensar que dos números negativos siempre dan un resultado positivo. Esto solo sucede en determinadas operaciones, como la multiplicación y la división.

(−4) + (−3) = −7

(−4) × (−3) = +12

En la suma, los dos números negativos se combinan para obtener una cantidad más negativa. En la multiplicación, los signos iguales producen un resultado positivo.

Olvidar cambiar el signo al restar un número negativo

Cuando restamos un número negativo, debemos convertir la resta en una suma de su opuesto.

8 − (−3) = 8 + 3 = 11

Un error habitual sería escribir 8 − 3 = 5. Esto ocurre cuando se ignora que el segundo número es negativo.

Para evitarlo, conviene aplicar siempre el procedimiento de convertir las restas en sumas antes de realizar los cálculos.

Confundir el signo negativo de un número con el de una operación

No es lo mismo el signo negativo que indica que un número es menor que cero que el signo que representa una resta.

Por ejemplo, en la expresión:

7 − (−2)

El primer signo menos indica una resta. El segundo forma parte del número negativo −2. Al restar ese número negativo, la operación se transforma en:

7 + 2 = 9

Distinguir los signos de operación de los signos de los números ayuda a resolver expresiones con varios signos consecutivos.

Aplicar incorrectamente los signos en las fracciones

En las fracciones, los signos del numerador y del denominador determinan el signo de la fracción.

(−2)/(−5) = 2/5

Ambos signos negativos se compensan, por lo que la fracción es positiva.

(−2)/5 = −2/5

Solo hay un signo negativo, así que el resultado es negativo.

Otro error frecuente es sumar los denominadores al sumar fracciones. Por ejemplo, 1/3 + 1/4 no es 2/7. Primero debemos encontrar un denominador común:

1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12

No respetar la jerarquía de las operaciones

En las operaciones combinadas, resolver primero las sumas y restas puede conducir a resultados incorrectos.

6 + 2 × (−3)

La multiplicación tiene prioridad:

6 + (−6) = 0

El resultado correcto es cero. Si sumáramos primero 6 + 2, obtendríamos un resultado diferente porque estaríamos alterando el orden de las operaciones.

Ejercicios de la ley de los signos con soluciones

La mejor forma de afianzar estos conocimientos es practicar con ejercicios de dificultad progresiva. Puedes utilizarlos para estudiar individualmente o como actividades de repaso en clase.

Intenta resolver cada ejercicio antes de consultar la solución.

Preguntas frecuentes sobre la Ley de Signos